Question

15．阅读材料：
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理可得：AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，我们把$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$叫做A、B两点之间的距离，记作AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
例题：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（x，0）．
①A（0，2），B （3，-2），则AB=5．；PA=$\sqrt{{x}^{2}+4}$．；
解：由定义有AB=$\sqrt{（0-3）^{2}+[2-（-2）]^{2}}=5$；PA=$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+4}$．
②$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$表示的几何意义是点P（x，0）到点（1，2）的距
离；$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-2）^{2}+9}$表示的几何意义是点P（x，0）分别到点（0，1）和点（2，3）的距离和．
解：因为$\sqrt{（x-1）^{2}+4}=\sqrt{（x-1）^{2}+（0-2）^{2}}$，所以$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$表示的几何意义是点P（x，0）到点（1，2）的距
离；同理可得，$\sqrt{{x}^{2}+1}+\sqrt{（x-2）^{2}+9}$表示的几何意义是点P（x，0）分别到点（0，1）和点（2，3）的距离和．
根据以上阅读材料，解决下列问题：
（1）如图2，已知直线y=-2x+8与反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
则点A、B的坐标分别为A（1，6），B（3，2），AB=2$\sqrt{5}$．
（2）在（1）的条件下，设点P（x，0），则$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$表示的几何意义是点P（x，0）分别到点（1，6）和点（3，2）的距离和；试求$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2+{y}_{2}^{2}}}$的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线和反比例函数解析式组成方程组，解方程组求出A、B坐标；根据两点之间的距离公式即可求出AB；
（2）根据题意容易得出表示的几何意义；作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P（即为满足题意的点），则B′坐标为（3，-2），得出$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$的最小值=AB′，由两点之间的距离公式求出AB′即可；用待定系数法求出直线AB′的解析式，再求出直线与x轴的交点即为点P的坐标．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴A（1，6），B（3，2），
∴AB=$\sqrt{（1-3）^{2}+（6-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
故答案为1，6；3，2；2$\sqrt{5}$；
（2）∵$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+（0-6）^{2}}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-2）^{2}}$，
∴$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$表示的几何意义是点P（x，0）分别到点（1，6）和点（3，2）的距离和；
故答案为：点P（x，0）分别到点（1，6）和点（3，2）的距离和；
作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，如图所示：
则B′坐标为（3，-2），
∴$\sqrt{（x-{x}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}+\sqrt{（x-{x}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$的最小值=AB′=$\sqrt{（1-3）^{2}+（6+2）^{2}}$=2$\sqrt{17}$；
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
把A（1，6），B′（3，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=-4，b=10，
∴直线 AB′的解析式为：y=-4x+10，
∵当y=0时，x=$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{5}{2}$，0）．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了直线与双曲线的交点坐标的求法、二元一次方程组的解法、两点之间的距离公式、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要通过作辅助线求出一次函数的解析式才能得出结果．