Question

15．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，将劣弧$\widehat{AC}$沿弦AC翻折与AB的交点恰好是圆心O，连接BC，作半径OD⊥AC．求证：四边形BCDO是菱形．

Answer 1

分析 先证明四边形OADC是菱形，得OA∥DC，AO=DC，根据同圆的半径相等得：AO=OB，所以OB=DC，OB∥DC，且OB=OD，所以四边形BCDO是菱形．

解答 证明：连接AD，
∵OD⊥AC，
∴AE=EC，
由翻折得：AC是OD的垂直平分线，
∴OE=DE，
∵OA=OC，
∴四边形OADC是菱形，
∴OA∥DC，AO=DC，
∵AO=OB，
∴OB=DC，OB∥DC，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∵OB=OD，
∴四边形BCDO是菱形．

点评 本题是圆与四边形的综合题，难度不大，考查了平行四边形、菱形、垂径定理和翻折变换的性质，明确翻折前后重合的点是对称点，对称点的连线被折痕垂直平分，熟练掌握菱形的判定：①四边相等的四边形是菱形，②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．