题目内容

2．如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米．动点P在线段AC上以5厘米/秒的速度从点A运动到点C．过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP．设点P的运动时间为x（秒）．
（1）求点A′落在边BC上时x的值；
（2）设△A′DP和△ABC重叠部分图形周长为y（厘米），求y与x之间的函数关系式；
（3）如图2，另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5厘米/秒的速度从点B运动到点C．过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ．
①求点A′在△B′EQ内部时x的取值范围；
②连接A′B′，当直线A′B′与△ABC的边垂直或平行时，直接写出线段A′B′的长．

分析 （1）利用锐角三角函数的意义直接求出；
（2）由（1）计算可得，分两种情况用锐角三角函数的意义求解：①当0＜x≤$\frac{40}{41}$时，y=12x，当$\frac{40}{41}$＜x≤$\frac{8}{5}$时，y=12-$\frac{3}{10}$x；
（3）①找出分界点Ⅰ、A′刚好到达B′E边时，Ⅱ、A′到EQ边与N重合，利用同一条线段两种算法求出x值，即可；②利用锐角三角函数值用两种算法列出方程求解即可．

解答 解：（1）如图1，

∵∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米，
∴AB=10，
∴cosA=$\frac{4}{5}$，sinA=$\frac{3}{5}$，tanA=$\frac{3}{4}$，
设AP=5x，
∴PA′=AD=APcos∠A=$\frac{4}{5}$×5x=4x，CP=8-5x，
∴cos∠CPA′=cos∠A=$\frac{CP}{PA′}$=$\frac{8-5x}{4x}$=$\frac{4}{5}$，
∴x=$\frac{40}{41}$，
（2）①当0＜x≤$\frac{40}{41}$，如图2，

∴PA′=AD=APcosA=3x，
∴A′D=AP=5x，
∴y=4x+3x+5x=12x，
②当$\frac{40}{41}$＜x≤$\frac{8}{5}$时，如图3

∴PE=$\frac{PC}{cosA}$=$\frac{80-50x}{8}$，
DF=DB×cosA=8-$\frac{16}{5}$x，
∴y=3x+$\frac{80-50x}{8}$+8-$\frac{16}{5}$x+$\frac{123}{20}$x-6=12-$\frac{3}{10}$x，
即：当0＜x≤$\frac{40}{41}$时，y=12x，当$\frac{40}{41}$＜x≤$\frac{8}{5}$时，y=12-$\frac{3}{10}$x；
（3）①同（1）一样有，sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$，tanB=$\frac{4}{3}$，
Ⅰ、A′刚好到达B′E边时，如图4，

∴PN=$\frac{PC}{cosA}$=$\frac{80-50x}{8}$，PA′=4x，AN′=EB=3x，PN=PA′+A′N，
∴$\frac{80-50x}{8}$=7x，
∴x=$\frac{40}{53}$，
Ⅱ、A′到EQ边与边BC交于N，如图5，

∴A′N=$\frac{QA′}{tanB}$=$\frac{QE-PD}{tanB}$=$\frac{3}{4}$x，PN=PA′+A′N=$\frac{80-50x}{8}$，
∴4x+$\frac{3}{4}$x=$\frac{80-50x}{8}$，
∴x=$\frac{10}{11}$，
∴$\frac{40}{53}$＜x＜$\frac{10}{11}$，
②Ⅰ、当A′B′⊥AB时，如图6，

∴DH=PA'=AD，HE=B′Q=EB，
∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=10，
∴x=$\frac{5}{7}$，
∴A′B′=QE-PD=x=$\frac{5}{7}$
Ⅱ、当A′B′⊥BC时，如图7，

∴B′E=5x，DE=10-7x，
∴cosB=$\frac{5x}{10-7x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{15}{23}$，
∴A′B′=B′D-A′D=$\frac{25}{23}$，
Ⅲ、当A′B′⊥AC时，如图8，

由（1）有，x=$\frac{40}{53}$，
∴A′B′=PA′sinA=$\frac{50}{53}$，
Ⅳ、当Q，P都到达C后，A′B′∥AB且AB=A′B′=10．如图9，

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数的意义，分类讨论，解本题的关键是要分类要分准，难点是分类．

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