题目内容
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0）和点B（3，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；
（2）如图1，直线x=2与x轴交于点N，与直线AD交于点G，点P是直线x=2上的一动点，当点P到直线AD的距离等于点P到x轴的距离时，求点P的坐标；
（3）如图2，直线y=-x+m经过点A，交y轴于点C，在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA=2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先确定抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），然后利用交点式求抛物线解析式；再把解析式配成顶点式即可得到D点坐标；
（2）过P作PH⊥AD于点H，如图1，利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=2x+2，再确定G（2，6），设P（2，t），则PN=PH=|t|，GP=6-t，用勾股定理计算出AG=$\sqrt{5}$，接着证明Rt△GPH∽Rt△GAN，利用相似比得到t的方程（6-t）：3$\sqrt{5}$=|t|：3，然后解方程求出t即可得到P点坐标；
（3）先确定直线AC的解析式为y=-x-1，过点D作DE∥AC，交y轴于点E，如图2，利用两直线平行问题可求出直线DE的解析式为y=-x+5，则E（0，5），于是可确定EC的中点F的坐标为（0，2），再过点F作AC的平行线交抛物线于M，如图2，根据平行线之间的距离可判断点M到直线AC的距离等于点D到AC的距离的一半，所以S△CDA=2S△ACM，接着确定直线FM的解析式为y=-x+2，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$即可得到满足条件的M点的坐标．
解答 解：（1）当x=0时，y=ax2+bx+3=3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3；
y=-（x-1）2+4，则D（1，4）；
（2）过P作PH⊥AD于点H，如图1，
设直线AD的解析式为y=kx+p，把A（-1，0），D（1，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直线AD的解析式为y=2x+2，
当x=2时，y=2x+2=6，则G（2，6），
设P（2，t），则PN=PH=|t|，GP=6-t，
在Rt△ANG中，AN=3，GN=6，
∴AG=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠PGH=∠AGN，
∴Rt△GPH∽Rt△GAN，
∴GP：AG=PH：AN，即（6-t）：3$\sqrt{5}$=|t|：3，
解得t1=$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$，t2=$\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$，
∴P点坐标为（2，$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$）或（2，$\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$）；
（3）存在．
把A（-1，0）代入y=-x+m得1+m=0，解得m=1，
∵直线AC的解析式为y=-x-1，
过点D作DE∥AC，交y轴于点E，如图2，
设直线DE的解析式为y=-x+n，
把D（1，4）代入得-1+n=4，解得n=5，
∴直线DE的解析式为y=-x+5，
当x=0时，y=-x+5=5，则E（0，5），
∴EC的中点F的坐标为（0，2），
过点F作AC的平行线交抛物线于M，如图2，则点M到直线AC的距离等于点D到AC的距离的一半，
∴S△CDA=2S△ACM，
设直线FM的解析式为y=-x+q，
把F（0，2）代入得q=2，
∴直线FM的解析式为y=-x+2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，
∴满足条件的M点的坐标为（$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）．
点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求一次函数与二次函数的交点坐标；理解坐标与图形性质；会利用勾股定理和相似比计算线段的长．
两个实数在数轴上对应点的位置如图所示，则a＞b．（填“＞”、“＜”或“=”）| A． | 调查市场上牛奶的质量情况 | B． | 调查全国中小学生的视力情况 | ||
| C． | 调查某品牌灯泡的使用寿命 | D． | 调查航天飞机零部件是否合格 |
| A． | 60° | B． | 90° | C． | 135° | D． | 180° |
