Question

【题目】如图，BD是⊙O的直径．弦AC垂直平分OD，垂足为E．

（1）求∠DAC的度数；

（2）若AC＝6，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）3

【解析】

（1）由题意证明△CDE≌△COE，从而得到△OCD是等边三角形，然后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解；（2）由垂径定理求得AE=AC=3，然后利用30°角的正切值求得DE=，然后根据题意求得OD=2DE=2，直径BD=2OD=4，从而使问题得解.

解：连接OA,OC

∵弦AC垂直平分OD

∴DE=OE，∠DEC=∠OEC=90°

又∵CE=CE

∴△CDE≌△COE

∴CD=OC

又∵OC=OD

∴CD=OC=OD

∴△OCD是等边三角形

∴∠DOC=60°

∴∠DAC=30°

（2）∵弦AC垂直平分OD

∴AE=AC=3

又∵由（1）可知，在Rt△DAE中，∠DAC=30°

∴，即

∴DE=

∵弦AC垂直平分OD

∴OD=2DE=2

∴直径BD=2OD=4

∴BE=BD-DE=4-=3