Question

【题目】已知抛物线经过点和 ，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；

（2）如图，点分别在线段上（点不与重合），且，则能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；

（3）若点在抛物线上，且，试确定满足条件的点的个数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）可能，的长为或；（3）当时，满足条件的点的个数有个，当时，满足条件的点的个数有个，当时，满足条件的点的个数有个（此时点在的左侧）．

【解析】

（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．

（2）可能分三种情形①当时，②当时，③当时，分别求解即可．

（3）如图2中，连接，当点在线段的右侧时，作于，连接．设，构建二次函数求出的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．

（1）由题意：

解得

抛物线的解析式为，

顶点坐标．

（2）可能．如图1，

①当时，

，此时与重合，与条件矛盾，不成立．

②当时，

又，

，

③当时，

，

，

答：当的长为或时，为等腰三角形．

（3）如图2中，连接，当点在线段的右侧时，作于，连接．设

则

时，的面积的最大值为，

当点在的右侧时，的最大值，

观察图象可知：当时，满足条件的点的个数有个，

当时，满足条件的点的个数有个，

当时，满足条件的点的个数有个（此时点在的左侧）．