Question

15．如图，在半径为1的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此类推，第6个内切圆的面积是（　　）

• A． $\frac{π}{16}$
• B． $\frac{π}{32}$
• C． $\frac{π}{64}$
• D． $\frac{π}{128}$

Answer 1

分析 由题意可得第一个的半径是1，△AOC是等腰直角三角形，则可求得第二个圆的半径，同理求得第三个圆的半径，继而可得规律：第n个圆的半径是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1，求得答案即可．

解答 解：如图，连接OA，OB，OC，
∵第一个的半径是1，△AOC是等腰直角三角形，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即第二个圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
同理，第三个圆的半径是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴依此类推得到第6个圆，它的半径是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^6-1=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
故第6个内切圆的面积是：π×（$\frac{\sqrt{2}}{8}$）²=$\frac{π}{32}$．
故选：B．

点评 此题考查了正多边形与圆的知识，注意得到规律：第n个圆的半径是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1是关键．