Question

20．已知关于x的方程（x-1）（x-2）-p=0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求P的取值范围；
（2）设方程两个不相等的实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁、x₂，且满足x₁+x₂=$\frac{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}{3}$，求实数p的值．

Answer 1

分析 （1）先把方程（x-1）（x-2）-p=0化为x²-3x+2-p=0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△=9-8+4p＞0，解不等式求出p的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x₁+x₂=3，x₁•x₂=2-p，代入x₁+x₂=$\frac{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}{3}$，得到关于p的方程，结合k的取值范围解方程即可．

解答 解：（1）方程（x-1）（x-2）-p=0可化为x²-3x+2-p=0，
这里a=1，b=-3，c=2-p，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（-3）²-4×1×（2-p）=9-8+4p＞0，
∴p＞-$\frac{1}{4}$，即满足条件的p的取值范围为p＞-$\frac{1}{4}$；

（2）由题意可得：x₁+x₂=3，x₁x₂=2-p，
又∵x₁+x₂=$\frac{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}{3}$，
∴3=$\frac{（2-p）^{2}}{3}$，
∴（2-p）²=9，
∴p₁=5，p₂=-1，
∵p＞-$\frac{1}{4}$，
∴取p=5，即满足条件的p的值为5．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．