Question

10．《九章算术》中“今有勾七步，股有二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”（　　）

• A． 4步
• B． 5步
• C． 6步
• D． 8步

Answer 1

分析 设三角形△ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r可求得半径，则可求得直径．

解答 解：
设三角形为△ABC，∠C=90°，AC=7，BC=24，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+2{4}^{2}}$=25，
设内切圆的半径为r，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，即$\frac{1}{2}$×7×24=$\frac{1}{2}$×（7+24+25）•r，
解得r=3，
∴内切圆的直径是6步，
故选C．

点评 本题主要考查三角形的内切圆，利用等积法得到关于内切圆半径的方程是解题的关键．