Question

11．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在$\widehat{AC}$上，且$\widehat{AD}$=2$\widehat{CD}$，
OA=4．
（1）∠COD=30°；
（2）求弦AD的长；
（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．
（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠AOC=90°，由已知条件得到∠AOD=2∠COD，即可得到结论；
（2）连结OD、AD，如图1所示：由（1）知∠AOD=2∠COD=2×30°=60°，推出△AOD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到；
（3）过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，连结AE，交OC于点P，则此时，AP+PD的值最小，延长AO交⊙O于点B，连结BE，得到AP+PD最小值=AP+PE=AE，根据圆周角定理得到∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD=30°，根据平行线的性质得到∠OAE=∠AED=30°，由于AB为直径，得到△ABE为直角三角形，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵$\widehat{AD}$=2$\widehat{CD}$，
∴∠AOD=2∠COD，
∴∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOC=30°，
故答案为：30；

（2）连结OD、AD，如图1所示：
由（1）知∠AOD=2∠COD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴AD=OA=4；

（3）过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，连结AE，交OC于点P，则此时，AP+PD的值最小，
延长AO交⊙O于点B，连结BE，如图2所示：
∵根据圆的对称性，点E是点D关于OC的对称点，
OC是DE的垂直平分线，
即PD=PE，
∴AP+PD最小值=AP+PE=AE，
∵∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD=30°，
又∵OA⊥OC，DE⊥OC，
∴OA∥DE，
∴∠OAE=∠AED=30°，
∵AB为直径，
∴△ABE为直角三角形，由$\frac{AE}{AB}$=cos∠BAE，AE=AB•cos30°=2×4×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$4\sqrt{3}$，
即AP+PD=$4\sqrt{3}$，

点评 本题考查了圆心角，弧、弦的关系，轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．