题目内容
8．已知：如图1，数轴上有两点A、B，点C，D分别从原点O与点B出发，以1cm/s、3cm/s的速度沿BA方向同时向左运动，运动方向如箭头所示．（1）若点A表示的数为-3，点B表示的数为9．
①当点C、D运动了2秒时，点C表示的数为-2，点D表示的数为3；
②点C、D运动多长时间，C、D两点运动到原点的距离相等？
（2）如图2，点C在线段OA上，点D在线段OB上运动，在点C、D运动的过程中，满足OD=3AC．
①探究OA与AB满足的数量关系：OA=$\frac{1}{4}$AB（直接写出结果）；
②利用上述结论解决问题：若N是直线AB上一点，且AN-BN=ON，求$\frac{ON}{AB}$的值．
分析 （1）①计算出OC及BD的长，进而可得出答案；
②设点C、D运动xs，C、D两点运动到原点的距离相等，根据题意列出方程，解方程即可求得；
（2）①根据题意得出3（OA-x）=OB-3x，求得OA和OB的关系，即可求得结论；
②分两种情况分别讨论求得即可．
解答 （1）①当点C、D运动了2s时，OC=2cm，BD=6cm，
∴OD=OB-BD=9-6=3cm，
∴C表示的数为：-2，D表示的数为：3，
故答案为-2，3；
②设点C、D运动xs，C、D两点运动到原点的距离相等，
根据题意：x=9-3x或x=3x-9，
解得x=$\frac{9}{4}$或$\frac{9}{2}$，
∴点C、D运动$\frac{9}{4}$s或$\frac{9}{2}$s，C、D两点运动到原点的距离相等；
（2）①∵点C在线段OA上，点D在线段OB上运动，在点C、D运动的过程中，满足OD=3AC．
∴3（OA-x）=OB-3x，
∴3OA=OB，
∴OA=$\frac{1}{4}$AB，
故答案为$\frac{1}{4}$；
②当点N在线段AB上时，如下图，
∵AN-BN=ON，又∵AN-AO=ON
∴BN=AO=$\frac{1}{4}$AB，
∴ON=$\frac{1}{2}$AB，即$\frac{ON}{AB}$=$\frac{1}{2}$；
当点N在线段AB的延长线上时，如下图
∵AN-BN=ON，
又∵AN-BN=AB，
∴ON=AB，即$\frac{ON}{AB}$=1，
综上所述，$\frac{ON}{AB}$=$\frac{1}{2}$或1．
点评 本题考查求线段的长短的知识及一元一次方程的应用，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．
如图，在△BAC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=5，CE=4，则线段DE的长为（ ）