如图.抛物线y=-$\frac{1}{8}$x2+mx+n经过△ABC的三个顶点.点A的坐标为.点C在x轴正半轴上．(1)求该抛物线的函数表达式及点C的坐标,(2)点E为线段OC上一动点.以OE为边在第一象限内作正方形OEFG.当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时.求线段OE的长,中的正方形OEFG沿OC向右平移.记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG.当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图，抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²+mx+n经过△ABC的三个顶点，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，3），点C在x轴正半轴上．
（1）求该抛物线的函数表达式及点C的坐标；
（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围．并求当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

分析（1）根据抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²+mx+n经过△ABC的三个顶点，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，3），可以求得抛物线的解析式；
（2）根据题意可以画出相应的图形，然后根据△AGF∽△AOC，可以求得OE的长，本题得以解决；
（3）根据题意画出相应的图形，然后根据俄三角形相似，可以分别表示出DM、MN、ND的长，然后利用分类讨论的数学思想可以解答本题；
（4）根据题意可以画出相应的图形，然后根据前面求出的各边的长度，可以表示出重叠的五边形的面积，从而可以求得S与t的函数关系式，以及t的取值范围，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少．

解答解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²+mx+n经过△ABC的三个顶点，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-\frac{1}{8}×{2}^{2}+m×2+n=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$
即抛物线的解析式为：y═-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{4}$x+3，
∵抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²+mx+n经过△ABC的三个顶点，点C在x轴正半轴上，
∴将y=0代入y═-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{4}$x+3，得x=-4或x=6，
∴点C的坐标为（6，0）；
（2）由题意可得，如右图一所示，
∵四边形OEFG是正方形，
∴GF∥OC，
∴△AGF∽△AOC，
∴$\frac{AG}{AO}=\frac{GF}{OC}$，
∵点A（0，3），点C（6，0），GF=OG，设GF=a，
∴$\frac{3-a}{3}=\frac{a}{6}$，得a=2，
即OE=2；
（3）存在，如图2
∵EF∥OA，
∴△MEC∽△AOC，
∴$\frac{ME}{AO}=\frac{CE}{CO}$，即$\frac{ME}{3}=\frac{6-2-t}{6}$，得ME=2-$\frac{t}{2}$，
在Rt△MED中，$D{M}^{2}=D{E}^{2}+M{E}^{2}={2}^{2}+（2-\frac{t}{2}）^{2}$，
∵DG∥OA，
∴△CDN∽△COA，
∴$\frac{ND}{AO}=\frac{CD}{CO}$，即$\frac{ND}{3}=\frac{6-t}{6}$，得ND=3-$\frac{t}{2}$，
过M作MH⊥DG于点H，则MH=2，DH=EM=2-$\frac{t}{2}$，
∴$M{N}^{2}=M{H}^{2}+N{H}^{2}={2}^{2}+[（3-\frac{t}{2}）-（2-\frac{t}{2}）]^{2}$=5，
当DM=DN时，DM²=DN²，
即${2}^{2}+（2-\frac{t}{2}）^{2}=（3-\frac{t}{2}）^{2}$，
解得，t=1；
当DN=NM时，DN²=MN²，
即$（3-\frac{t}{2}）^{2}=5$，
解得，t=6-$2\sqrt{5}$或t=6+2$\sqrt{5}$（舍去）；
当DM=MN时，DM²=MN²，
即${2}^{2}+（2-\frac{t}{2}）^{2}=5$，
解得，t=2或t=6（舍去），
由上可得，当t=2或t=1或t=6-$2\sqrt{5}$时，△DMN是等腰三角形；
（4）正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，当如图3所示，
由（3）可知，ME=2-$\frac{t}{2}$，DN=3-$\frac{t}{2}$，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵点B（2，3），点C（6，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$，
设直线BC与EF交于点K，
∵OE=t+2，
∴当x=t+2时，y=$-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$=$-\frac{3}{4}（t+2）+\frac{9}{2}$=$-\frac{3}{4}t+3$，
∴点K（t+2，$-\frac{3}{4}t+3$），
∴FK=2-（$-\frac{3}{4}t+3$）=$\frac{3}{4}t-1$，
设直线BC与GF交于点J，
∴点J的纵坐标是2，
将y=2代入y=$-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$，得x=$\frac{10}{3}$，
∴点J的坐标为（$\frac{10}{3}$，2），
∴FJ=t+2-$\frac{10}{3}$=t-$\frac{4}{3}$，
∴S=S_{正方形DEFG}-S_△FKJ-S_梯形DEKN
=2×2-$\frac{1}{2}×（\frac{3}{4}t-1）（t-\frac{4}{3}）-$$\frac{1}{2}[（2-\frac{t}{2}）+（3-\frac{t}{2}）]×2$
=$-\frac{3}{8}{t}^{2}+2t-\frac{5}{3}$
=$-\frac{3}{8}（t-\frac{8}{3}）^{2}+1$，
作GH⊥y轴于点H，交AC于点I，由（2）知，HI=2，
又∵HJ=$\frac{10}{3}$，
∴2$＜t＜\frac{10}{3}$，
∵2＜$\frac{8}{3}＜\frac{10}{3}$，
∴当t=$\frac{8}{3}$时，S取得最大值，最大值是S=1．

点评本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，根据题目中给出的信息画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答问题，这是一道中考压轴题，计算量较大，一定要仔细认真．

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