Question

14．已知抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{20}$x²+bx+5．
（1）当自变量x≥2时，函数值y随x的增大而减少，求b的取值范围；
（2）如图，若抛物线的图象经过点A（2，5），与x轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于B．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P，使得∠PAB=∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：对称轴只需要小于或等于2即可，从而可求出b的范围；
（2）①将A代入抛物线解析式即可求出b的值．
②由于∠PAB=∠ABC，且P在抛物线上，故需要对P的位置进行分类讨论即可．

解答 解：（1）抛物线的对称轴为：x=10b，
由题意可知：x≥2时，函数值y 随 x的增大而减少，
∴10b≤2，
∴b≤$\frac{1}{5}$；
（2）①将A（2，5）代入抛物线的解析式中，
∴5=-$\frac{1}{20}$×4+2b+5，
∴b=$\frac{1}{10}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{1}{10}$x+5，
②由于∠PAB=∠ABC，
当P在对称轴的左侧时，
此时∠PAB=∠ABC，
∴PA∥BC，
∴P的纵坐标与A的纵坐标相同，
∴P（0，5），
当P在对称轴的右侧时，
连接AP并延长交x轴于E，
此时∠PAB=∠ABC
∴AE=BE，
过点A作AG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，过点E作EF⊥AB于点F，
∵B（1，0），A（2，5），
∴AG=5，BG=1，
∴由勾股定理可知：AB=$\sqrt{26}$，
∵AE=BE，EF⊥AB，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∵cos∠ABC=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
∴cos∠ABC=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
∴BE=13，
∴GE=BE-BG=12，
∴tan∠PEG=$\frac{AG}{GE}$=$\frac{5}{12}$，
设P（x，-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{1}{10}$x+5），
∵E（14，0），
∴HE=14-x，PH=-$\frac{1}{20}$x²+$\frac{1}{10}$x+5，
∴tan∠PEG=$\frac{PH}{HE}$=$\frac{5}{12}$，
即$\frac{-\frac{1}{20}{x}^{2}+\frac{1}{10}x+5}{14-x}$=$\frac{5}{12}$，
解得：x=2（舍去）或x=$\frac{25}{3}$，
∴P（$\frac{25}{3}$，$\frac{85}{36}$）
综上所述，P（0，5）或P（$\frac{25}{3}$，$\frac{85}{36}$）

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及勾股定理，二次函数的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．