题目内容

如图，直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA=8，OB=6．动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求出直线AB的解析式；
（3）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（4）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）A（8，0），B（0，6）

（2）∵直线y=kx+b过点A（8，0），B（0，6）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，y=- $\text{[math]}$

（3）∵在Rt△AOB中，OA=8，OB=6，
∴AB=10
①当点P在OB上运动时，OP=t
S= $\text{[math]}$ =4t

②当点P在BA上运动时，AP=6+10-t=16-t．
作PD⊥OA于点D，
∴∠PDA=∠BOA=90°，∠A=∠A
∴△APD∽△ABO，得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．解得PD= $\text{[math]}$ ．
∵AP=6+10-t=16-t，
∴PD= $\text{[math]}$
∴S= $\text{[math]}$ OA×PD= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$

（4）①当4t=12时，t=3，P（0，3）
此时，过△AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在；
②当- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =12时，t=11，P（4，3），在坐标轴上存在点M（两个），使梯形存在，
此时M的坐标为：（0，3）；（0，-6）．
分析：（1）根据OA和OB的长度可求出A、B两点的坐标；
（2）将A、B两点的坐标代入直线方程式中即可求出直线解析式；
（3）将P点运动分为3个阶段分别写出函数关系式即可；
（4）根据（3）中求得的关系式求出P点坐标，求在不同情况下是否存在点M．
点评：本题主要考查对于一次函数的应用和对分段函数的理解掌握，此外，还应掌握梯形的性质．