Question

17．在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC．
（1）操作发现：若AB=AC，∠BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是CE=BD，CE⊥BD；
（2）猜想论证：
在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：
如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于45度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3$\sqrt{2}$时，请直接写出线段CF的长的最大值是$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 （1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．
（2）证明的方法与（1）一样．
（3）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE=MA，由于∠ACB=45°，则AM=MC，所以MC=NE，易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF=90°，
由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得$\frac{MD}{CF}=\frac{AM}{DC}$，设DC=x，而∠ACB=45°，AC=$\sqrt{2}$，得AM=CM=3，MD=3-x，利用相似比可得到CF=-$\frac{1}{3}$x²+1，再利用二次函数即可求得CF的最大值．

解答 解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；
故答案为：CE=BD，CE⊥BD；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，
所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；
（3）45°；$\frac{3}{4}$；
过A作AM⊥BC于M，过E点作EN垂直于MA延长线于N，如图3，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠NEC=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴NE=MC，∴AM=MC，
∴∠ACB=45°，
∵四边形MCEN为矩形，
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴$\frac{MD}{CF}$=$\frac{AM}{DC}$，设DC=x，
∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3$\sqrt{2}$，
∴AM=CM=3，MD=3-x，∴$\frac{3-x}{CF}$=$\frac{3}{x}$，
∴CF=-$\frac{1}{3}$x²+x=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时有最大值，最大值为$\frac{3}{4}$．
故答案为：45°，$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等及相似的判定与性质．