Question

12．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=3$\sqrt{3}$，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=$\frac{9}{2}$CE；④S_阴影=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．其中正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①易求得DF长度，即可判定；
②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定；
③易证AE=2EF，EF=2EC即可判定；
④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S_阴影即可解题；

解答 解：①∵AF是AB翻折而来，∴AF=AB=6，
∵AD=BC=3$\sqrt{3}$，∴DF=$\sqrt{{AF}^{2}{-AD}^{2}}$=3，
∴F是CD中点；∴①正确；
②连接OP，

∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，
∵AD⊥DC，∴OP∥CD，
∴$\frac{AO}{AF}$=$\frac{OP}{DF}$，
设OP=OF=x，则$\frac{x}{3}$=$\frac{6-x}{6}$，解得：x=2，∴②正确；
③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，
∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，
∴∠EAF=∠EAB=30°，
∴AE=2EF；
∵∠AFE=90°，
∴∠EFC=90°-∠AFD=30°，
∴EF=2EC，
∴AE=4CE，∴③错误；
④连接OG，作OH⊥FG，

∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG为等边△；同理△OPG为等边△；
∴∠POG=∠FOG=60°，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OG=$\sqrt{3}$，S_扇形OPG=S_扇形OGF，
∴S_阴影=（S_矩形OPDH-S_扇形OPG-S_△OGH）+（S_扇形OGF-S_△OFG）
=S_矩形OPDH-$\frac{3}{2}$S_△OFG=2×$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．∴④正确；
故答案为①②④．

点评 本题考查了矩形面积的计算，正三角形的性质，平行线平分线段的性质，勾股定理的运用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键．