Question

17．如图①，抛物线的顶点M的坐标是（1，-$\frac{27}{8}$），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3）．

（1）求这条抛物线的表达式；
（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？
（3）如图②，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）按顶点式设出抛物线解析式，由点C在抛物线求出a即可；
（2）先求出△ABC的面积，然后用时间t表示出△QBP的面积，从而用时间t表示出四边形ACQP的面积即可；
（3）先求出D（2，-3），再表示出P₁（2-m，0），D₁（2-m-3，-3），E（2-m，-3+$\frac{3}{2}$m），求出直线OM解析式为y=-$\frac{27}{8}$x，最后分两种情况计算即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
∵C（0，-3）在抛物线上，
∴a-$\frac{27}{8}$=-3，
∴a=$\frac{3}{8}$，
∴y=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3，
（2）如图1，

作QG⊥x轴，
∵y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3，
∴A（-2，0），B（4，0），C（0，-3），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×OC=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
由运动有BP=4-t，BQ=2t，
∵QG∥OC，
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{QG}{OC}$，
∴$\frac{2t}{5}=\frac{QG}{3}$，
∴QG=$\frac{6t}{5}$，
∴S_△QBP=$\frac{1}{2}$BP×QG=$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{6t}{5}$=-$\frac{3}{5}$（t-2）²⁺$\frac{12}{5}$，
∴S_{四边形ACQP}=S_△ABC-S_△QBP=9-[-$\frac{3}{5}$（t-2）²⁺$\frac{12}{5}$]=$\frac{3}{5}$（t-2）²+$\frac{33}{5}$，
∴当t=2时，S_{四边形ACQP最小}=$\frac{33}{5}$；
（3）如图2，

∵动点P运动到OB的中点且OB=4，
∴OP=2，
∴当x=2时，y=-3，
∴D（2，-3），
∴直线OD解析式为y=-$\frac{3}{2}$x，
∵△P₁O₁D₁是由△POD平移得到，
∴P₁（2-m，0），D₁（2-m-3，-3），E（2-m，-3+$\frac{3}{2}$m）
∴直线OM解析式为y=-$\frac{27}{8}$x，
①如图2，当0＜m≤$\frac{10}{9}$时，作FH⊥x轴，
∴O₁（-m，0）
∵O₁D₁∥OD，
∴直线O₁D₁的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$m，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{27}{8}x}\\{y=-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}m}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}m}\\{y=-\frac{27}{10}m}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{4}{5}$m，-$\frac{27}{10}$m），
∴FH=$\frac{27}{10}$m，
∴S_{四边形OFD1E}=S_{四边形OO1D1D}-S_△OO1F-S_△DD1E=-$\frac{21}{10}$m²+3m，
②如图3，

当$\frac{10}{9}$＜m＜2时，设D₁P₁交OM于点F，
∴F（2-m，-$\frac{27}{8}$（2-m）），
∴EF=$\frac{15}{8}$（2-m），
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$EF×OP₁=$\frac{15}{16}$（2-m）²，

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了图形面积的计算，函数极值的求法，函数解析式的确定，解本题的关键是表示线段和点的坐标．