Question

7．如图，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点B、点C在第一象限，sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，线段AD、AB的长分别是方程x²-11x+24=0的两根（AD＞AB）．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）在直线AB上是否存在点M，使以点C、点B、点M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出AD、AB，根据sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$推出∠DAO=60°，作BE⊥x轴于点E，在RT△ABE中，即可解决问题．
（2）利用待定系数法设直线AB为y=kx+b，把A、B坐标代入即可解决问题．
（3）分四种情形，利用相似三角形的性质求出AM的长，即可求出点M坐标．

解答 （1）解：作BE⊥x轴于点E，
解方程x²-11x+24=0得x₁=3，x₂=8．
∵AD＞AB
∴AD=8，AB=3，
∵sin∠OAD=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴∠OAD=60°，
∴∠BAE=30°，
OA=AD×cos60°=4，
∴AE=AB×cos30°=3×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
BE=AB×sin30°=$\frac{3}{2}$，
∴B点的坐标为（$4+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}$）．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
则$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ \frac{3}{2}=（4+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}）k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式为y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
（3）存在，如图，①当△BCM₁∽△ODA时，$\frac{BC}{OD}$=$\frac{B{M}_{1}}{OA}$，
∴$\frac{8}{4\sqrt{3}}$=$\frac{B{M}_{1}}{4}$，
∴BM₁=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AM₁=3+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，作M₁H⊥OA于H，
∵∠M₁AH=30°，
∴HM₁=$\frac{3}{2}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+4，OH=8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴点M₁（8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
②当△CBM₂∽△AOD时，$\frac{BC}{AO}$=$\frac{B{M}_{2}}{OD}$，∴$\frac{8}{4}$=$\frac{B{M}_{2}}{4\sqrt{3}}$，
∴BM₂=8$\sqrt{3}$，
∴AM₂=3+8$\sqrt{3}$，
∴M₂坐标为（16+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+4$\sqrt{3}$），
根据对称性得到M₃（-8+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$-4$\sqrt{3}$），M₄（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查相似三角形综合题、三角函数、相似三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，综合性比较强，属于中考压轴题．