Question

12．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD=DE．
（1）如果∠BAE=40°，那么∠B=70°，∠C=35°；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC=6cm，那么△ABE的周长=7cm；
（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的性质得出AB=AE，从而得出角之间的关系∠ABE=∠AEB=2∠C，代数求解即可；
（2）通过线段的等量代换即可求解；
（3）由AD⊥BC，BD=DE，点E在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=EC，AB=AE，继而证得AB+BD=AE+DE=DC．

解答 （1）解：∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=EC．
∵BD=DE，AD⊥BC，
∴AB=AE．
∴∠ABE=∠AEB=2∠C=（180°-40°）÷2=140°÷2=70°，∠C=35°．
故答案为：70，35；

（2）解：∵△ABC的周长为13cm，AC=6cm，
∴AB+BC=13-6=7，
∴△ABE的周长=AB+BC=7cm．
故答案为：7；

（3）AB+BD=DC．
证明：∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AB=AE，BD=DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴AB+BD=AE+DE=DC．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．