Question

5．在直角三角形ACB中，∠C=90°，AB=4，AC=2，现操作如下：过点C作CP₁⊥AB于点P₁，得到Rt△CP₁B，过点P₁作P₁P₂⊥CB于点P₂，得到Rt△P₁P₂B，按照相同的方法一直操作下去，则P₁P₂=$\frac{3}{2}$；P_nP_n+1=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ•$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中根据三角函数求得∠B=30°，∠A=60°，再利用三角函数分别求出P₁P₂、P₂P₃，可得出规律，从而可得答案．

解答 解：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=2，
∴sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，∠A=60°，
∵CP₁⊥AB，
∴CP₁=ACsinA=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，∠ACP=30°，
∵P₁P₂⊥CB，
∴P₁P₂∥AC，
∴∠CP₁P₂=∠ACP=30°，
∴P₁P₂=CP₁cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∵P₂P₃⊥AB，
∴CP₁∥P₂P₃，
∴∠CP₁P₂=∠P₁P₂P₃=30°，
∴P₂P₃=P₁P₂cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²•$\sqrt{3}$，
…
∴P_nP_n+1=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ•$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$，（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ•$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数及数字的变化规律，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键．