Question

18．如图1，在?ABCD中，cosB=$\frac{1}{3}$，AB=2BC，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB→BC运动，同时动点F从点A出发以相同的速度沿线段AD→DC运动，两点到达点C停止运动，设运动时间为xs，△AEF的面积为y（cm²），图2是y关于x的部分函数图象．
（1）请直接写出AB=6cm，BC=3cm；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知点E的运动路程AB+BC=9×1=9，结合AB=2BC可得答案；
（2）M为AB中点，分①当点E在AM上运动、点F在AD上运动时，即0≤x＜3；②当点E在MB上运动、点F在DC上运动时，即3≤x＜6；③当点E在BC上运动、点F在DC上运动时，即6≤x≤9三种情况，分别根据三角形的面积公式和割补法列式可得．

解答 解：（1）由题意知点E的运动路程AB+BC=9×1=9，
∵AB=2BC，
∴AB=6cm，BC=3cm，
故答案为：6，3；

（2）①如图1，M为AB中点，当点E在AM上运动、点F在AD上运动时，即0≤x＜3，

过点F作FP⊥AB，交AB延长线于点P，
由题意知AE=AF=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴cosB=cos∠PAF=$\frac{1}{3}$，
则AP=AFcos∠PAF=$\frac{1}{3}$x，
则PF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
则y=$\frac{1}{2}$•AE•PF=$\frac{1}{2}$x•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x²；
②如图2，当点E在MB上运动、点F在DC上运动时，即3≤x＜6，

由题意知AE=xcm，
过点F作FP⊥AB于点P，作CQ⊥AB于点Q，
∵BQ=BCcosB=3×$\frac{1}{3}$=1，
∴FP=CQ=$2\sqrt{2}$，
则y=$\frac{1}{2}$•x•2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$x；
③如图③，当点E在BC上运动、点F在DC上运动时，即6≤x≤9，

由题意知，AE+BE=AD+DF=x，则BE=x-6，CE=CF=9-x，
作EP⊥AB于点P，延长PE交DF于点Q，
∵AB∥CD，
∴PQ⊥CD，∠B=∠ECQ，
∴BP=BEcosB=$\frac{1}{3}$（x-6），CQ=CEcos∠ECQ=$\frac{1}{3}$（9-x），
则PE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-6），EQ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（9-x），
∴y=$\frac{1}{2}$（9-x+6）×[$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-6）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（9-x）]-$\frac{1}{2}$×6×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-6）-$\frac{1}{2}$×（9-x）×$\frac{1}{3}$（9-x）
=-$\frac{1}{2}$x²+（9+$\sqrt{2}$）x+3$\sqrt{2}$-$\frac{27}{2}$．

点评 本题主要考查动点问题的函数图象，根据题意弄清点E、点F运动的拐点及三角形面积的求法是解题的关键．