Question

4．关于x的一元二次方程x²+2（m+1）x+（3m²+4mn+4n²+2）=0有实数根，则3m²+2n³=$\frac{11}{4}$．

Answer 1

分析 根据方程有实数根结合根的判别式即可得出-4（m-1）²-4（m+2n）²≥0，由偶次方非负即可得出关于m、n的二元一次方程，解方程组即可得出m、n的值，将其代入3m²+2n³中即可得出结论．

解答 解：∵方程x²+2（m+1）x+（3m²+4mn+4n²+2）=0有实数根，
∴△=[2（m+1）]²-4×1×（3m²+4mn+4n²+2）=-4（m-1）²-4（m+2n）²≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1=0}\\{m+2n=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴3m²+2n³=3×1²+2×$（-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{11}{4}$．
故答案为：$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查了根的判别式以及解二元一次方程组，根据偶次方非负得出关于m、n的二元一次方程组是解题的关键．