Question

9．如图，已知一次函数y₁=x+b（b＞0）的图象与反比例函数y₂=$\frac{6}{x}$的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若过A点的直线与双曲线y₂=$\frac{6}{x}$的图象有唯一公共点，求直线解析式；
（3）若点C在双曲线y₂=$\frac{6}{x}$的图象上，且S_△CAB=14，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据x＞1时，y₁＞y₂，0＜x＜1时，y₁＜y₂确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；
（2）设过A点的直线的解析式为y=kx+b，得到直线的解析式为y=kx+6-k，根据题意得到方程，求得k=-6，于是得到结论；
（3）设点C的坐标为（a，$\frac{6}{a}$），过点C作CD∥x轴交直线AB于D，得到点D的纵坐标为$\frac{6}{a}$，求出点D的坐标为（$\frac{6}{a}$-5，$\frac{6}{a}$），得到CD=a-（$\frac{6}{a}$-5），解方程组得到点B的坐标为（-6，-1），求得点B到CD的距离为$\frac{6}{a}$-（-1），根据三角形的面积列方程得到结论．

解答 解：（1）∵当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂，
∴点A的横坐标为1，
代入反比例函数解析式，$\frac{6}{1}$=y，
解得y=6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函数的解析式为y₁=x+5；

（2）设过A点的直线的解析式为y=kx+b，
把A（1，6）代入得6=k+b，
∴b=6-k，
∴直线的解析式为y=kx+6-k，
∵过A点的直线与双曲线y₂=$\frac{6}{x}$的图象有唯一公共点，
∴kx+6-k=$\frac{6}{x}$，
整理得，kx²+（6-k）x-6=0，
∴△=（6-k）²+24k=0，
解得：k=-6，
∴过A点的直线的解析式为y=-6x+12；

（3）设点C的坐标为（a，$\frac{6}{a}$），
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，
则点D的纵坐标为$\frac{6}{a}$，
∴x+5=$\frac{6}{a}$，
解得x=$\frac{6}{a}$-5，
∴点D的坐标为（$\frac{6}{a}$-5，$\frac{6}{a}$），
∴CD=a-（$\frac{6}{a}$-5），
点A到CD的距离为6-$\frac{6}{a}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+5}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-6}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（-6，-1），
∴点B到CD的距离为$\frac{6}{a}$-（-1），
S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×[a-（$\frac{6}{a}$-5）]（$\frac{6}{a}$+1+6-$\frac{6}{a}$）=14，
解得a=2，a=-3，
∴C（2，3）或（-1，-2）．

点评 本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点A的横坐标是解题的关键．