Question

19．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．
（1）当矩形纸板ABCD的一边长为90厘米时，求纸盒的侧面积的最大值；
（2）当EH：EF=7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）一边长为90cm，则另一边长为40cm，列出侧面积的函数解析式，配方可得最值；
（2）由EH：EF=7：2，设EF=2m、EH=7m，根据侧面积与底面积之比为9：7建立方程，可得m=x，由矩形纸板面积得出x的值．

解答 解：（1）∵矩形纸板ABCD的一边长为90cm，
∴矩形纸板的另一边长为3600÷90=40（cm），
则S_侧=2[x（90-2x）+x（40-2x）]=-8x²+260x，
=-8（x-$\frac{65}{4}$）²+$\frac{4225}{2}$．
∵-8＜0，
∴当x=$\frac{65}{4}$时，S_侧最大=$\frac{4225}{2}$．

（2）设EF=2m，则EH=7m，
则侧面积为2（7mx+2mx）=18mx，底面积为7m•2m=14m²，
由题意，得18mx：14m²=9：7，
∴m=x．
则AD=7x+2x=9x，AB=2x+2x=4x
由4x•9x=3600，且x＞0，
∴x=10．

点评 本题主要考查二次函数的应用，根据矩形的面积公式列出面积的函数表达式或方程是解题的关键．