Question

10．在平行四边形ABCD中，AE垂直于对角线BD，垂足为E，连接CE．若三角形BCE是等边三角形，CD=2$\sqrt{7}$，则BD=6．

Answer 1

分析 利用等边三角形的性质得，∠CBE=60°，BC=BE，再根据平行四边形的性质得AB=CD=2$\sqrt{7}$，BC=AD，AD∥BC，则∠ADE=60°，接着在Rt△ADE中，设DE=x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AE=$\sqrt{3}$x，AD=2x，则BC=BE=2x，然后根据勾股定理得到（$\sqrt{3}$x）²+（2x）²=（2$\sqrt{7}$）²，解得x=2，最后计算DE+BE即可．

解答 解：∵△BCE为等边三角形，
∴∠CBE=60°，BC=BE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=2$\sqrt{7}$，BC=AD，AD∥BC，
∴∠ADE=60°，
∵AE⊥BD，
在Rt△ADE中，设DE=x，则AE=$\sqrt{3}$x，AD=2x，
∴BC=BE=2x，
在Rt△ABE中，∵AE²+BE²=AB²，
∴（$\sqrt{3}$x）²+（2x）²=（2$\sqrt{7}$）²，解得x=2，
∴BD=x+2x=3x=6．
故答案为6．

点评 本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等边三角形的性质．