Question

20．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E在BC上，F在BA延长线上，CE=2BD，EF=AC
求证：∠C+∠F=∠ABC．

Answer 1

分析 延长CD至G，使DC=DG，则AD垂直平分GC，AG=AC=EF，∠C=∠1，过点G作GM⊥AB，EN⊥AB，证明△BGM≌△BEN，△GMA≌△ENF，所以∠2=∠F，即可得到∠ABC=∠1+∠2=∠C+∠F．

解答 解：如图，延长CD至G，使DC=DG，
则AD垂直平分GC，AG=AC=EF，∠C=∠1，
过点G作GM⊥AB，EN⊥AB，
设BD=a，DE=b，
则EC=2a，BG=GD=BD=b+2a-a=a+b，
则BG=BE，
在△BGM和△BEN，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBE=∠MBG}\\{∠BNE=∠GMB}\\{BG=BE}\end{array}\right.$，
∴△BGM≌△BEN，
∴GM=EN，
在Rt△GMA和△ENF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GM=EN}\\{AG=EF}\end{array}\right.$，
∴△GMA≌△ENF，
∴∠2=∠F，
∴∠ABC=∠1+∠2=∠C+∠F．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△BGM≌△BEN、△GMA≌△ENF．