Question

1．观察下列各式：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$，…，
请你猜想：
（1）$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
（2）计算（请写出推导过程）：$\sqrt{15+\frac{1}{17}}$=16$\sqrt{\frac{1}{17}}$；
（3）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=（n+1）\sqrt{\frac{1}{n+2}}$．

Answer 1

分析 （1）观察各式，即可求得答案；
（2）根据所给例子，即可解答；
（3）根据所给例子，即可得到规律．

解答 解：（1）$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$．故答案为：5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
（2）$\sqrt{15+\frac{1}{17}}$=$\sqrt{\frac{15×17+1}{17}}=\sqrt{\frac{（16-1）×（16+1）-1}{17}}$=$\sqrt{\frac{1{6}^{2}-1+1}{17}}$=$\sqrt{\frac{1{6}^{2}}{17}}=16\sqrt{\frac{1}{17}}$，故答案为：16$\sqrt{\frac{1}{17}}$；
（3）$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=$\sqrt{\frac{n（n+2）+1}{n+2}}$=$\sqrt{\frac{（n+1）^{2}}{n+2}}=（n+1）\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，
故答案为：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=（n+1）\sqrt{\frac{1}{n+2}}$．

点评 此题考查了二次根式的化简问题．此题难度适中，属于规律性题目，注意掌握二次根式的化简知识是解此题的关键．