Question

13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，以AB为边向左边作一个等边△ABD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=45°，根据三角形的内角和定理求得∠AFE=45°，即可证得△AEF是等腰直角三角形；
（2）利用等边三角形的性质及勾股定理先计算出DE的长，根据等角对等边得出EF=AE=5，则DF的长可求解．

解答 解；（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，即∠AFE=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）∵△ABD是等边三角形，AB=10，
∴∠ADB=60°，AD=AB=10，
∵DE⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$；
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AE=5，
∴DF=DE-EF=5$\sqrt{3}$-5．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，及等腰直角三角形的性质，范围较广．