Question

5、如图所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．
（1）求证：ADCF是等腰梯形；
（2）若△ADC的周长为16厘米（cm），AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长．

Answer 1

分析：（1）欲证ADCF是等腰梯形，归结为证明AD∥CF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．
（2）计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长．

解答：解：（1）∵AB∥DF
∴∠1=∠3
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴EA=ED
∵AC=DF
∴EC=EF
∴△EAD及△ECF均是等腰三角形
∵∠AED=∠CEF
∴∠3=∠4
∴AD∥CF
∵FC＜AD
∵AC=DF，∠2=∠3，AD=AD
∴△ACD≌△DFA（SAS）
∴AF=DC
∵AD∥CF，FC＜AD，AF=DC
∴四边形ADCF是等腰梯形．
（2）∵△ADC的周长=AD+DC+AC=16（厘米），AF=3（厘米），FC=AC-3
∴四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF
=AD+DC+（AC-3）+AF
=（AD+DC+AC）-3+3
=16（厘米）
∴四边形ADCF的周长为16厘米．

点评：此题主要考查学生对等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质的理解及运用能力．