Question

如图所示，四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点．
（1）当AB∥CD而AD与BC不平行时，四边形ABCD称为

 

形，线段EF叫做其

 

，EF与AB+CD的数量关系为

 

；
（2）当AB与CD不平行，AD与BC也不平行时，猜想EF与AB+CD的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）类比着三角形的中位线定理即可得到梯形的中位线定理．
（2）连接AC，取AC的中点M，连接EM、FM．在三角形EFM中利用三角形的中位线定理可以得到

1

2

DC+

1

2

AB＞EF，从而证明结论．

解答：解：（1）梯形，（1分）中位线，（2分）
2EF=AB+CD；（4分）

（2）AB+CD＞2EF．（7分）
证明如下：
连接AC，取AC的中点M，（8分）
连接EM、FM．
在△ACD中，
∵E为AD中点，M为AC中点，
则EM为△ACD的中位线，∴EM=

1

2

DC；（9分）
在△ABC中，∵F为BC中点，M为AC中点，则FM为△ABC的中位线，∴FM=

1

2

AB．（10分）
在△EFM中，∵EM+FM＞EF，（11分）
即

1

2

DC+

1

2

AB＞EF，
两边同乘以2，得AB+CD＞2EF．（12分）

点评：本题考查了三角形的中位线定理的知识，另外本题中还涉及到了类比的数学思想．