Question

如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．

Answer 1

考点：矩形的性质,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求反比例函数解析式

专题：代数综合题,数形结合

分析：（1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；
（2）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．

解答：解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，
∴点E的坐标为（2，1），
代入反比例函数解析式得，

k

2

=1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y=2时，

2

x

=2，
解得x=1，
∴点D的坐标为（1，2）；

（2）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积=4×2=8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为

3

3+5

×8=3，
或

5

3+5

×8=5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若

1

2

（1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此时点F的坐标为（2，0），
若

1

2

（1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时，

m+n=2 2m+n=0

，
解得

m=-2 n=4

，
此时，直线解析式为y=-2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时，

m+n=2 4m+n=0

，
解得

m=- 2 3 n= 8 3

，
此时，直线解析式为y=-

2

3

x+

8

3

，
综上所述，直线的解析式为y=-2x+4或y=-

2

3

x+

8

3

．

点评：本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（2）难点在于要分情况讨论．