Question

13．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：$\sqrt{3}$，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=105°．

Answer 1

分析 连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．

解答 解：连接OQ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，
∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠OQC=45°，
∵BO：OA=1：$\sqrt{3}$，
设BO=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴AQ=1，则tan∠AQO=$\frac{AO}{AQ}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AQO=60°，
∴∠AQC=105°．

点评 本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．