Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（　　）

• A． $\frac{18}{5}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{24}{5}$
• D． $\frac{9}{5}$

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=$\frac{12}{5}$，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC²=AM²+CM²，即9=AM²+（$\frac{12}{5}$^）2，
解得：AM=$\frac{9}{5}$，
∴AD=2AM=$\frac{18}{5}$．
故选A．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．