Question

1．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD-AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；
（3）根据题意得到AC=$\sqrt{10}$，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．

解答 （1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2）解：∵AB=AC，
∠B=∠C，
∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C，
∴BD=DC=DE=3，
∵BD-AD=2，
∴AD=1，
在RT△ABD中，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴⊙O的半径为$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
（3）解：∵AB=AC=$\sqrt{10}$，BD=DC=3，
∴BC=6，
∵∠B=∠E，∠C=∠C，
∴△EDC∽△BAC，
∵AC•EC=DC•BC，
∴$\sqrt{10}$•EC=3×6，
∴EC=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$，
∴AE=EC-AC=$\frac{9}{5}$$\sqrt{10}$-$\sqrt{10}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．