Question

10．已知x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$），y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$），求x²-2xy+y²和$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$的值．

Answer 1

分析 先利用已知条件计算出x+y=$\sqrt{5}$，x-y=$\sqrt{3}$，xy=$\frac{1}{2}$，然后利用完全平方公式变形得到x²-2xy+y²=（x-y）²，$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$，再分别利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$），y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$），
∴x+y=$\sqrt{5}$，x-y=$\sqrt{3}$，xy=$\frac{1}{4}$（5-3）=$\frac{1}{2}$，
∴x²-2xy+y²=（x-y）²=（$\sqrt{3}$）²=3；
$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=8．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．