Question

20．阅读图1的情景对话，然后解答问题：

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题（填“真”或“假”）
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆$\widehat{ADB}$的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据题中所给的奇异三角形的定义容易得出结果；
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a²+b²=c²与a²+c²=2b²，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①根据勾股定理得出AC²+BC²=AB²，AD²+BD²=AB²，求出AD=BD，求出AC²+CB²=2AD²，把CB=CE，AE=AD代入求出AC²+CE²=2AE²即可；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$与AC：AE：CE=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1去分析，即可求得结果．

解答 解：（1）设等边三角形的边长为a，
∵a²+a²=2a²，
∴等边三角形一定是奇异三角形，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题；
故答案为：真；

（2）∵∠C=90°，
则a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{3}$a，
∴a：b：c=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；

（3）∵①AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵点D是半圆$\widehat{ADB}$的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，∴△ACE是奇异三角形；
②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC²+CE²=2AE²，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$或AC：AE：CE=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1，
当AC：AE：CE=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$时，AC：CE=1：$\sqrt{3}$，即AC：CB=1：$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°；
当AC：AE：CE=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1时，AC：CE=$\sqrt{3}$：1，即AC：CB=$\sqrt{3}$：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°．
∴∠AOC的度数为60°或120°．

点评 本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系；关键是熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论．