Question

9．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD（图2）中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．得折线AOC，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为四边形ABCD的一条“好线”．
（1）如图（1），试说明中线AD平分△ABC的面积；
（2）如图（2），请你探究四边形ABCO的面积和四边形ABCD面积的关系，并说明理由；
（3）在图（2）中，请你说明直线AE是四边形ABCD的一条“好线”；
（4）如图（3），若AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出四边形ABCD经过F点的“好线”，并对你的画图作适当说明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AH⊥BC于H．由S_△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AH，S_△ADC=$\frac{1}{2}$•DC•AH，因为BD=CD，所以S_△ABD=S_△ADC；
（2）利用（1）中结论可以证明S_{四边形ABCO}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}；
（3）设AE交OC于F．由OE∥AC，推出S_△AOE=S_△COE，推出S_△AOF=S_△CEF，又因为（2）知，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，即可推出直线AE平分四边形ABCD的面积；
（4）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．由AG∥EF，推出S_△AGE=S_△AFG．设AE与FG的交点是O．则S_△AOF=S_△GOE，又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”；

解答 解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AD是中线，
∴BD=CD，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AH，S_△ADC=$\frac{1}{2}$•DC•AH，
∴S_△ABD=S_△ADC，
∴中线AD平分△ABC的面积．

（2）结论：S_{四边形ABCO}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}．
如图2中，

理由：由（1）知，S_△AOB=S_△AOD，S_△BOC=S_△DOC，
∴${S_{△AOB}}+{S_{△BOC}}={S_{△AOD}}+{S_{△DOC}}=\frac{1}{2}{S_{四边形ABCD，}}$
∴S_{四边形ABCO}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}．

（3）如图2中，设AE交OC于F．

∵OE∥AC，
∴S_△AOE=S_△COE，
∴S_△AOF=S_△CEF，
又因为（2）知，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”． 

（4）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．

∵AG∥EF，
∴S_△AGE=S_△AFG．
设AE与FG的交点是O．则S_△AOF=S_△GOE，
又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．

点评 本题考查四边形综合题、三角形中线的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，理解同底等高的三角形面积相等，所以中考创新题目．