Question

如图所示，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点，A在B的左侧，且OA、OB的长是方程x²-4x+3=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．
（1）求⊙M的直径；
（2）求直线ON的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由因式分解求出方程的解，确定A，B两点的坐标，求出⊙M的直径，
（2）由OM，MN的长可以求出∠MON的度数，写出直线ON的解析式，
（3）由ON作为底边和腰，可以直接写出T点坐标．

解答：解：（1）（x-3）（x-1）=0
∴x₁=3，x₂=1，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2．
∴⊙M的直径是2．

（2）∵ON⊥MN，点N在⊙M上，且在第四象限，
OM=2，MN=1，
∴∠MON=30°，
∴NO=

3

，则N点纵坐标为：-

3

2

，横坐标为：

3

2

，
∴N点坐标为：（

3

2

，-

3

2

），
设直线ON的解析式为：y=kx，则-

3

2

=

3

2

k，
解得：k=-

3

3

，
∴直线ON的解析式为：y=-

3

3

x．

（3）当ON是等腰三角形的腰时，ON=

3

，以O为圆心，ON长为半径画弧，与x轴交于T点，
则T（-

3

，0）和T（

3

，0），以N为圆心，NO长为半径画弧，与x轴交于T点，则T（3，0）；
当ON是等腰三角形的底边时，T（1，0）．
故T点坐标有：（-

3

，0）和（

3

，0）和（3，0）和（1，0）．

点评：本题考查了圆的综合以及用因式分解法解一元二次方程以及直线和圆的位置关系及圆的半径的关系和等腰三角形的性质等知识，数形结合以及分类讨论得出T点坐标是解题关键．