Question

3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，且∠A=∠D．
（1）求∠ACD的度数；
（2）若CD=3，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由AO=CO，推出∠A=∠ACO，推出∠COD=2∠A，可得3∠D=90°，推出∠D=30°，即可解决问题
（2）先求△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．

解答 解：（1）连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠D=180°-30°-30°=120°．

（2）由（1）可知∠COD=60°
在Rt△COD中，∵CD=3，
∴OC=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{60π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$，

点评 本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分面积．