Question

如图，直线交坐标轴于A（a，0），B（0，b）两点，且a，b满足a²+b²+2a-6b+10=0，AB平分∠OAC，OC交反比例函数y=-

9

x

（x＜0）于C点．
（1）求a，b的值；
（2）求△OAC的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据配方，可得非负数的和为零，根据非负数的和为零，可得每个非负数为零，可得a、b得值；
（2）根据角平分线的性质，可得BD与BO的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得AD，根据勾股定理，可得关于a、b的方程，根据解方程，可得a、b的值，根据待定系数法，可得AD的解析式，根据双曲线与AD的交点，可得C点的纵坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答：解：（1）a²+b²+2a-6b+10=0，配方，得
（a+1）²+（b-3）²=0．
a+1=0，b-3=0．
解得a=-1，b=3；
（2）作BD⊥AC于D，作DE⊥y轴于E点，DF⊥x轴于F点，作CG⊥x轴与G点．，
设D（a，b），
由AB平分∠OAC，得
BD=BO=3，
在△DAB和△OAB中，

DB=BO AB=AB

，
△DAB≌△OAB（HL），
∴AD=AO=1．
由勾股定理，得

a2+(b-3)2=9① (a+1)2+b2=1②

，
②-①得2a+6b=0．化简，得
a=-3b③．
把a=-3b代入①，得10b²-6b=0，解得b=

3

5

，b=0（不符合题意要舍去），
把b=

3

5

代入③，得a=-

9

5

，D（-

9

5

，

3

5

），
设AD的函数解析式为y=kx+b，把A、D点的坐标代入，得

- 9 5 k+b= 3 5 -k+b=0

，解得

k=- 3 4 b=- 3 4

．
AD的函数解析式为y=-

3

4

x-

3

4

，
联立直线AD、反比例函数，得

y=- 3 4 x- 3 4 y=- 9 x

，
4y²+3y-27=0
y₁=

9

4

，y₂=-3（不符合题意要舍去），
S_△OAC=

1

2

AC•CG=

1

2

×|-1|×

9

4

=

9

8

．

点评：本题考查了反比例函数综合题，（1）利用了非负数的性质，（2）利用了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，函数图象交点与方程组的关系，三角形的面积公式．