Question

18．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=8，AB=10，⊙O的半径为4．点P是AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP=x（0≤x≤10），PQ²=y，则y与x的函数关系式为y=x²-$\frac{64}{5}$x+48．

Answer 1

分析 连接OQ、OP、作PM⊥OA于M，由PM∥BO，得$\frac{PM}{BO}$=$\frac{AM}{AO}$=$\frac{PA}{AB}$，求出PM、AM，利用OP²=PQ²+OQ²=PM²+OM²，列出等式即可解决问题．

解答 解：如图连接OQ、OP、作PM⊥OA于M．
∵PQ是⊙O切线，
∴∠PMA=∠BOA=90°，AO=8，AB=10，
∴PM∥BO，BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=6，
∴$\frac{PM}{BO}$=$\frac{AM}{AO}$=$\frac{PA}{AB}$，
∴PM=$\frac{3}{5}$x，AM=$\frac{4}{5}$x．OM=8-$\frac{4}{5}$x，
∵OP²=PQ²+OQ²=PM²+OM²，
∴y+16=$\frac{9}{25}$x²+64-$\frac{64}{5}$x+$\frac{16}{25}$x²，
∴y=x²-$\frac{64}{5}$x+48，
故答案为y=x²-$\frac{64}{5}$x+48

点评 本题考查切线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立函数关系，属于中考常考题型．