如图.抛物线y=ax2+bx+c过A三点.与x轴另一交点记作D.直线y=kx+n过C.D两点．(1)求抛物线与直线CD的解析式,(2)在抛物线y=ax2+bx+c的对称轴上是否存在一点P.使得PA+PD最小.若存在.请写出点P的坐标.并求出PA+PD的最小值,若不存在.请说明理由,(3)若点E为抛物线y=ax2+bx+c的顶点.连接EC.ED.则在直线y=kx+n的上方的抛物线上是否存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，抛物线y=ax²+bx+c过A（0，4），B（4，0），C（2，4）三点，与x轴另一交点记作D，直线y=kx+n过C、D两点．
（1）求抛物线与直线CD的解析式；
（2）在抛物线y=ax²+bx+c的对称轴上是否存在一点P，使得PA+PD最小，若存在，请写出点P的坐标，并求出PA+PD的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若点E为抛物线y=ax²+bx+c的顶点，连接EC、ED，则在直线y=kx+n的上方的抛物线上是否存在一点M，使得S_△MCD=S_△DEC，若存在，直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A（0，4），B（4，0），C（2，4）代入抛物线的解析式可得到关于a、b、c的方程组，从而可求得a、b、c的值；
（2）连接AB交抛物线的对称轴与点P，连接DP．先求得抛物线的对称轴方程为直线x=1，然后再求得AB的解析式，从而可求得点P的坐标，依据轴对称的性质可知当A、P、B在一条直线上时，AP+DP的最小值等于AB的长；
（3）过点E作ME∥DC，交抛物线与点M．先求得DC的解析式，然后再求得ME的解析式，最后求得直线ME与抛物线的交点坐标即可．

解答解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
将A（0，4），B（4，0），C（2，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a+4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=1，c=4．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（2）如图1所示：连接AB交抛物线的对称轴与点P，连接DP．

∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∵点B和点D关于直线x=1对称，
∴DP=BP．
∴AP+DP=AP+PB．
∴当A、P、B在一条直线上时，有最小值，AP+DP的最小值等于AB的长．
设直线AB的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：4k+4=0，解得k=-1，
∴直线AB的解析式为y=-x+4．
当x=1时，y=3，
∴P（1，3）．
AP+DP的最小值=AB=4$\sqrt{2}$．

（3）如图2所示：过点E作ME∥DC，交抛物线与点M．

∵EM∥DC，
∴点M到DC的距离=点E到DC的距离．
∵等底等高的两个三角形面积相等，
∴S_△MCD=S_△DEC．
把y=0代入y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4得：-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解得x=-2或x=4，
∴点D的坐标为（-2，0）．
将x=1代入入y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4得：y=$\frac{9}{2}$，
∴E（1，$\frac{9}{2}$）．
设直线DC的解析式为y=mx+n，将点D和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{2m+n=4}\end{array}\right.$，解得m=1，n=2．
∴直线DC的解析式为y=x+2．
设直线ME的坐标为y=x+d，将点E的坐标代入得：1+d=$\frac{9}{2}$，解得：d=$\frac{7}{2}$．
∴直线ME的解析式为y=x+$\frac{7}{2}$．
将y=x+$\frac{7}{2}$与y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$．
∴点M的坐标为（-1，$\frac{5}{2}$）．