Question

请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）探究1：如图1，点E、F分别在正方形ABCD边BC、CD上，AE⊥BF于点O，小芳看到该图后，发现AE=BF，这是因为∠EAB和∠FBC都是∠ABF的余角，就会由ASA判定得出△ABE≌△BCF．小芳马上联想到正方形的对角线也是互相垂直且相等的（如图2），是不是在一般情况下，正方形内部两条长度大于边长且互相垂直的线段，即使它们不经过正方形的顶点，也会相等呢？
很快她发现结果是成立的，除了通过构造法证明两条线段所在的三角形全等之外，还可以通过平移的方法把图3转化为图1，得到GH=EF，该方法更加简捷；
（2）探究2：小芳进一步思考，如果让两个全等正方形组成矩形ABCD，如图4所示，GH⊥EF于点O，她发现GH=2EF，请你替她完成证明；
（3）探究3：如图5所示，让8个全等正方形组成矩形ABCD，GH⊥EF于点O，请你猜想GH和EF有怎样的数量关系，写在下面：

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题,相似三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（2）平移FE至DE′，平移GH至AH′，根据平移的性质可得：FE=DE′，GH=AH′，FE∥DE′，GH∥AH′，易证Rt△BAH′∽Rt△ADE′，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．
（3）借鉴（2）中的解题经验可得

GH

EF

=

AH′

DE′

=

AB

AD

=8，则有GH=8EF．

解答：（2）证明：平移FE至DE′，平移GH至AH′，如图4．
根据平移的性质可得：FE=DE′，GH=AH′，FE∥DE′，GH∥AH′，
∴四边形OPQR为平行四边形．
∵GH⊥EF，即∠POR=90°，
∴平行四边形OPQR为矩形，
∴∠AQE′=∠PQR=90°，
∴∠QAE′+∠QE′A=90°．
又∵∠ADE′+∠DE′A=90°，
∴∠ADE′=∠QAE′．
又∵∠DAE′=∠ABH′=90°，
∴Rt△BAH′∽Rt△ADE′，
∴

AH′

DE′

=

AB

AD

=2，
∴

GH

EF

=

AH′

DE′

=2，
∴GH=2EF．

（3）猜想：GH=8EF．
解：平移FE至DE′，平移GH至AH′，如图5．
根据平移的性质可得：FE=DE′，GH=AH′，FE∥DE′，GH∥AH′，
∴四边形OPQR为平行四边形．
∵GH⊥EF，即∠POR=90°，
∴平行四边形OPQR为矩形，
∴∠AQE′=∠PQR=90°，
∴∠QAE′+∠QE′A=90°．
又∵∠ADE′+∠DE′A=90°，
∴∠ADE′=∠QAE′．
又∵∠DAE′=∠ABH′=90°，
∴Rt△BAH′∽Rt△ADE′，
∴

AH′

DE′

=

AB

AD

=8，
∴

GH

EF

=

AH′

DE′

=8，
∴GH=8EF．
故答案为：GH=8EF．

点评：本题考查了平移的性质、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，突出了对基本活动经验的考查．