Question

9．如图，△ABC的顶点A，B，C都在圆上，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，D是$\widehat{BC}$上一点，连接AD，在AD上截取AE=DC，试判断△BDE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 根据圆心角、弧、弦的关系，由$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$得到AB=BC=AC，则可判断△ABC为等边三角形，则∠ACB=60°，再证明△ABE≌△CBD得到BE=BD，接着根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，于是可判断△BDE为等边三角形．

解答 解：△BDE为等边三角形．理由如下：
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠BAE=∠BCD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD，
∴BE=BD，
∵∠ADB=∠ACB=60°，
∴△BDE为等边三角形．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定．