Question

1．一个矩形的广告牌如图所示，印刷厂的纸张的印刷面积是32dm²，上、下空白各1dm，左、右空白处各0.5dm，被印刷部分从上到下的长是xdm，四周空白处的面积为Sdm²．
（1）求S与x之间的关系式．
（2）若要求四周空白处的面积为18dm²，求用来印刷广告的纸张的长和宽的各是多少？
（3）在（2）的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）先表示出AB=x+2，A′D′=$\frac{32}{x}$，AD=$\frac{32}{x}$+1，则利用S=S_矩形ABCD-S_{矩形A′B′C′D′}可得S=$\frac{64}{x}$+x+2；
（2）解方程$\frac{64}{x}$+x+2=18得x₁=x₂=8，经检验x=8是原方程的解，然后计算$\frac{32}{x}$，从而得到用来印刷这张广告的纸张的长和宽；
（3）先计算$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，$\frac{A′D′}{AD}$=$\frac{4}{5}$，所以$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{A′D′}{AD}$=$\frac{A′C′}{AC}$=$\frac{B′C′}{BC}$，加上所有对应角为直角，根据位似图形的判定方法可判断内外两个矩形是位似图形．

解答 解：（1）根据题意得A′B′=x，则AB=x+2，A′D′=$\frac{32}{x}$，
所以AD=$\frac{32}{x}$+1，
所以S=S_矩形ABCD-S_{矩形A′B′C′D′}=（x+2）•（$\frac{32}{x}$+1）-32=$\frac{64}{x}$+x+2，
（2）当S=18，即$\frac{64}{x}$+x+2=18，
整理得x²-16x+64=0，解得x₁=x₂=8，
经检验x=8是原方程的解，
则$\frac{32}{x}$=4，
所以用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是8dm，4dm；
（3）内外两个矩形是位似图形．理由如下：
因为$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，$\frac{A′D′}{AD}$=$\frac{4}{5}$，
所以$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{A′D′}{AD}$=$\frac{A′C′}{AC}$=$\frac{B′C′}{BC}$，
所以内外两个矩形是位似图形．

点评 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．也考查了一元二次方程的应用．