Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B的抛物线y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+m的顶点P在这条直线上，以AB为边向下方做正方形ABCD．
（1）当m=2时，k=$\frac{1}{2}$，b=1；当m=-1时，k=$\frac{1}{2}$，b=-2；
（2）根据（1）中的结果，用含m的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）当正方形ABCD的顶点C落在抛物线的对称轴上时，求对应的抛物线的函数关系式；
（4）当正方形ABCD的顶点D落在抛物线上时，直接写出对应的直线y=kx+b的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）将m的值代入可求得点P的坐标，将x=0代入求得y的值，从而可得到点B的坐标，然后利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）由函数解析式得到点P的坐标，将x=0代入可求得y的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求得AB的解析式，从而得到k、b的值；
（3）过点C作CE⊥y轴，垂足为E．然后证明△ABO≌△BCE，从而可得到点B的坐标，然后由点B的坐标可求得点m的值；
（4）当点B在y轴的正半轴上时，过点D作DE⊥x轴与点E．然后证明△ABO≌△DAE，从而可得到点D的坐标，然后将点D的坐标代入函数解析式可求得m的值，从而得到直线AB的解析式；当点B在y轴的负半轴上时，证明△ABO≌△DAE，从而可得到点D的坐标，然后将点D的坐标代入函数解析式可求得m的值，从而得到直线AB的解析式．

解答 解：（1）当m=2时，y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2，
∴P（2，2）．
把x=0代入得：y=1，
∴B（0，1）．
设直线AB的解析式为y=kx+1，
将点P的坐标（2，2）代入得：2k+1=2，解得：k=$\frac{1}{2}$．
∴k=$\frac{1}{2}$，b=1．
当m=-1时，y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²-1．
∴P（2，-1）．
把x=0代入得：y=-2，
∴B（0，-2）．
设直线AB的解析式为y=kx-2，
将点P的坐标（2，-1）代入得：2k-2=-1，解得：k=$\frac{1}{2}$．
∴k=$\frac{1}{2}$，b=-2．
故答案为：$\frac{1}{2}$；1；$\frac{1}{2}$；-2．

（2）k=$\frac{1}{2}$，b=m-1．
证明：∵y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+m，
∴抛物线的顶点坐标为（2，m）．
把x=0代入得：y=m-1．
∴b=m-1．
设直线AB的解析式为y=kx+m-1．
将x=2，y=m代入得：2k+m-1=m，解得k=$\frac{1}{2}$．

（3）如图1所示，过点C作CE⊥y轴，垂足为E．

∵ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=90°．
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠EBC．
在△ABO和△BCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠EBC}\\{∠AOB=∠BEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCE．
∴EC=OB=2．
∴m-1=2．
∴m=3．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+3．

（4）如图2所示当点B在y轴的正半轴上时，过点D作DE⊥x轴与点E．

由（2）可知：直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m-1．
当x=0时，y=m-1，当y=0时，x=2-2m．
∴OA=2m-2，OB=m-1．
∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAO=∠ADE．
在△ABO和△DAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ADE}\\{∠AOB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE=OB=1-m，ED=AO=2m-2．
∴D（1-m，2-2m）．
∵点D在抛物线上，
∴2-2m=-$\frac{1}{4}$（-m-1）²+m，解得m=9或m=1（舍去）．
∴直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+9．
如图3所示：当点B在y轴的负半轴上时，

当x=0时，y=m-1，当y=0时，x=2-2m．
∴OA=2-2m，OB=1-m．
∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAO=∠ADE．
在△ABO和△DAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ADE}\\{∠AOB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE=OB，ED=AO．
∴D（3-3m，2m-2）．
∵点D在抛物线上，
∴2m-2=-$\frac{1}{4}$（1-3m）²+m，解得m=-$\frac{7}{9}$或m=1（舍去）．
∴直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{7}{9}$．
综上所述，直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+9或y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{7}{9}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、全等三角形的性质和判定，用含m的式子表示出点D的坐标是解题的关键．