Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接DB，根据圆周角定理、直角三角形的性质证明；

（2）根据扇形面积公式计算即可．

（1）证明：连接DB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CDB＝90°，

∵点E是BC的中点，

∴DE＝CE＝BC，

∴∠EDC＝∠C，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO，

∵∠ABC＝90°，

∴∠A+∠C＝90°，

∴∠ADO+∠EDC＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵AB＝12，∠BAC＝30°，

∴AD＝6，

阴影部分的面积＝﹣×6×3＝12π﹣9．