Question

【题目】已知二次函数y＝ax2﹣2x＋3经过点A(﹣3，0)，P是抛物线上的一个动点．

（1）求该函数的表达式；

（2）如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，PA，PC．求△ACP的面积S关于t的函数关系式，并求出△ACP的面积最大时点P的坐标．

（3）连接BC，在抛物线上是否存在点P，使得∠PCA＝∠OCB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－2x＋3；（2），；（3）或(－4，－5)

【解析】

（1）将点A(-3，0)带入解析式求解即可；

（2）过点P做垂线，则，利用已知A、C点坐标可以求出AC直线的解析式，从而等到P、Q两点坐标，再利用三角形面积公式求解即可；

（3）做出辅助线，借助三角函数得到∠PCA＝∠OCB的关系，从而得到边与边的关系，求解出未知数．

（1）二次函数过点A(-3，0)，代入有0=9a+6+3，a=-1，

故为此函数解析式为；

（2）过点P作PNAO于点N，交AC于点Q，

由（1）知，C(0，3)，设直线AC的解析式为y=kx+b，（k0），将A(-3，0)、C(0，3)代入y=kx+b，得解得，

∴直线AC的解析式为y=x+3，

∵点P在抛物线上，点Q在直线AC上，

∴P(t，)，Q(t，t+3)，

∴PQ==，

；

当时，△ACP的面积最大，；

故S关于t的函数关系式，P；

（3）抛物线上存在点P，使得∠PCA＝∠OCB，

过P点作PDAC，交AC于点D，如图

已知抛物线方程为，，x=1，即可得到B(1，0)，

则有OB=1，OC=3，，

点P在抛物线上，设点P(a，)，直线AC：y=x+3，则，直线PD过点P，即可求出PD的解析式为，又因为D为PD与AC的交点，联立方程组有，解得有，即D(，

，

，

∵∠PCA＝∠OCB，

∴，

∴，解得a=-4或a=，

所以存在点P(-4，-5)或．