Question

如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.

（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（3分）

（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3分）

（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)²+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，

若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （4分）

Answer 1

 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.

由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.

在Rt△ABF中，BF=.

∴FC=4.

设DE=x,在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，解得x=5.

∴CE=8-x=3.

∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）. （3分）

（2）分三种情形讨论：

若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.

若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.  

若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，

∴（m+6）²= m²+64，解得m=.   

综合得m=6或4或.

（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).

依题意，得， 解得  

∴M（m+6，﹣1）.

设对称轴交AD于G.

∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.

∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，

∴∠OAB=∠MAG.

又∵∠ABO=∠MGA=90°，

∴△AOB∽△AMG.   ∴，即.∴m=12.