Question

9．已知，△ABC是⊙O的内接三角形，过点O作OD⊥BC于点D，DO交⊙O于点E，连接OC，AE．
（1）如图1，求证：∠COE=2∠BAE；
（2）如图2，连接CE，若∠BAC=120°，求证：BC=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BF⊥AE于点F，连接FD，若FD=2，AC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理，可得$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得∠BAE=∠CAE，根据圆周角定理，可得∠COE=2∠CAE；
（2）根据等弧所对的圆周角相等，可得∠BAE=∠CAE=∠BCE，∠CBE=∠CAE，根据等边三角形的判定，可得答案；
（3）根据全等三角形的判定与性质，可得AB=AG，FB=FG，根据垂径定理，可得BD与CD的关系，根据三角形中位线的性质，可得CG与FD的关系，根据邻补角的定义，可得∠HAC的度数，根据锐角三角函数，可得CH、AH的长度，根据勾股定理，可得BC的长，再根据锐角三角函数，可得答案．

解答 （1）证明：∵OD⊥BC，$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠COE=2∠CAE，
∴∠COE=2∠BAE；
（2）证明：连接BE．
，
∵∠BAE=∠CAE，∠BAC=120°，
∴∠BAE=∠CAE=60°．
∵∠BCE=∠BAE=60°，∠CBE=∠CAE=60°，
∴∠BEC=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCE=∠CBE=∠BEC=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=CE；
（3）解：延长BF交AC于G，作CH⊥BA的延长线于H．
，
∵BF⊥AE，
∴∠BFA=∠GFA=90°，
在△BAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠GFA}\\{AF=AF}\\{∠BFA=∠GFA}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△GAF  （ASA），
∴AB=AG，FB=FG．
∵OD⊥BC，
∴BD=CD．
∵FB=FG，BD=CD，
∴CG=2FD=4，
∴AG=AB=6-4=2．
∵∠HAC=180°°-120°=60°
∴CH=AC•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，AH=AC•cos60°=6×$\frac{1}{2}$=3，
∴BH=2+3=5，
在Rt△CBH中，BC=$\sqrt{C{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{13}$=$\sqrt{13}$，
∵∠ECB=∠EAB=60°，
∴DE=CD•tan60°=$\sqrt{13}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{39}$．

点评 本题考查了圆的综合题，（1）利用了垂径定理，弧与圆周角的关系，圆周角定理；（2）利用了弧与圆周角的关系，等边三角形的判定；（3）利用了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，锐角三角函数，勾股定理，利用知识点多，题目有一定难度．